Las particiones regulares del espacio.
Se trata de recubrir el espacio con poliedros regulares iguales. Todo el mundo sabe que los cubos iguales tienen la propiedad de poderse colocar apilados sin que queden huecos. Parece factible la posibilidad de que también se pueda con alguno de los otros cuatro poliedros regulares.
Actividad 7. Comprueba con cuáles de los poliedros regulares se puede recubrir perfectamente el espacio.
Tras realizar esta experiencia hemos comprobado que los poliedros regulares que recubren el espacio son menos de los deseados. Habría sido bonito formar una estructura ilimitada de dodecaedros iguales, en la que se juntaran cuatro en cada vértice, en cada arista se juntarían tres, cada dodecaedro estaría rodeado de otros doce. Si nos empeñamos en forzarlo para que eso suceda, montando una estructura de varillas según las aristas de dodecaedros, nos obligaría a ir aumentando la longitud de las varillas conforme fuéramos poniendo otra capa más de dodecaedros que envolviera a las anteriores, podemos pensar que eso va a ser así indefinidamente, pero si observamos el ejercicio 2, en el que a un pentágono se le rodeaba de otros cinco, y cada uno de esos cinco pentágonos estaba rodeado de otros cinco, vimos que sólo se necesitaban 12 pentágonos para completarlo, aunque, eso sí, los más exteriores estaban muy deformados, muy deformados en una superficie plana, pero no en una superficie esférica.
En las siguientes actividades haremos la partición del espacio en regiones espaciales, en la naturaleza eso sucede de forma natural en las burbujas, nosotros experimentaremos el partir el espacio en compartimentos mediante estructuras que construiremos con los tubitos de los bastoncitos de algodón y alambre muy fino que pasamos por dentro de esos tubitos.

Actividad 8. Partición del espacio en cubos, espacio euclídeo. Actividad 9. Partición del espacio en dodecaedros, espacio esférico. Actividad 10. Partición del espacio en cubos, espacio esférico. Actividad 11. Partición del espacio en tetraedros, espacio esférico. Actividad 12. Partición del espacio en octaedros, espacio esférico.

Tras realizar estas actividades hemos descubierto y obtenido los datos que con los que elaboramos esta tabla:

Tabla de las particiones políedro-regulares del espacio.

Particiones semirregulares del espacio.
De la misma manera que existen mosaicos semirregulares y poliedros semirregulares, formados con polígonos regulares de dos clases, cuyos vértices son iguales respecto a las caras que concurren en ellos, también hay montones de burbujas semirregulares, formados de regiones espaciales que son poliedros regulares de más de un tipo y cuyos vértices son todos iguales respecto a las regiones espaciales que concurren en cada uno.
Solamente hay un caso en espacio euclídeo:
- Mediante octaedros y tetraedros, cada octaedro está rodeado de 8 tetraedros, cada tetraedro está rodeado de 4 octaedros.
Hay dos casos en espacio esférico:
- El formado por 5 regiones octaédricas y 5 regiones tetraédricas, cada tetraedro está rodeado de 4 octaedros, cada octaedro está rodeado de 4 tetraedros y 4 octaedros.
- El formado por 600 regiones octaédricas y 120 regiones icosaédricas, cada icosaedro está rodeado de 20 octaedros y cada octaedro está rodeado de 4 octaedros y 4 icosaedros.

Caleidoscopios espaciales.
Caleidoscopio de espacio euclídeo.
El cubo es el único poliedro regular que tiene la propiedad de poder recubrir el espacio. Un caleidoscopio de espacio euclídeo consistiría en una habitación cúbica, cuyas paredes, suelo y techo fueran espejos planos. El observador debería situarse dentro de ella.
Caleidoscopios de espacio curvo.
Se pueden diseñar caleidoscopios despacio esférico y de espacio hiperbólico. Tendrían la forma de un poliedro regular con caras espejos de superficies esféricos, el observador también debería situarse dentro de ese poliedro. Para caleidoscopio de espacio esférico sus caras estarían curvadas hacia afuera, como si el poliedro fuese de goma y estuviera algo inflado. Para caleidoscopio de espacio hiperbólico sus caras estarían curvadas hacia dentro, como si fuese de goma y estuviese falto de presión.